Пространства со скалярным произведением
Введем еще одну дополнительную геометрическую характеристику (операцию) в пространстве сигналов в виде отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F. Эту операцию называют скалярным(внутренним) произведениемвекторов и записывают в виде , т.е. . Скалярное произведение должно удовлетворять следующей системе аксиом (над полем комплексных чисел):
1) эрмитова симметрия, 2) дистрибутивность, 3) ассоциативность, 4) , если . Из этих аксиом следует, что . Если , то векторы и ортогональны . Если (δij – символ Кронекера: δij = 1 при i = j и δij = 0 при i ≠ j), то система векторов ортонормированная. Легко показать, что система ортонормированных векторов – линейно независимая. В линейном пространстве со скалярным произведением целесообразно норму и метрику определять через скалярное произведение , . Весьма важное значение имеет соотношение, называемое неравенством Коши-Буняковского-Шварца . На основе скалярного произведения можно ввести понятие угла j между двумя векторами, исходя из соотношения . В ТЭС наибольший практический интерес представляют следующие линейные нормированные метрические пространства: 1. Rn– n-мерное вещественное евклидово пространство, в котором каждый вектор определяется совокупностью n его координат . Скалярное произведение векторов в этом пространстве . Оно порождает норму и расстояние , . 2. L2(T) –бесконечномерные пространства (Гильберта), которое образуют непрерывные комплексные или вещественные x(t) функции, заданные на интервале (0, Т). Скалярное произведение векторов в этом пространстве . Квадрат нормы имеет ясный физический смысл энергии Ех сигнала, если под x(t) иметь в виду напряжение (или ток) на сопротивлении 1 Ом. Квадрат расстояния между вещественными сигналами x(t) и y(t) определяется соотношением
и имеет смысл энергии разностного сигнала. 3. L2(∞) – бесконечномерные пространства (Гильберта), которое образуют непрерывные комплексные или вещественные x(t) функции, заданные на интервале (–Т/2, Т/2) при . Если для вещественных функций условие
не выполняется, но выполняется условие ограничения мощности , то можно ввести скалярное произведение векторов в этом пространстве с размерностью мощности и норму . 4. 2n – n-мерное пространство Хэмминга, которые образуют двоичные n-последовательности (кодовые комбинации из 0 и 1), широко используемые в системах ПДС. Норму и метрику в этом пространстве задают в виде , , где знак Å обозначает операцию сложения по модулю 2 (по правилам: 0 Å 0 = 0, 0 Å 1 = 1, 1 Å 0 = 1, 1 Å 1 = 0). Таким образом, норма вектора в пространстве Хэмминга определяется общим количеством содержащихся в нем единиц, а расстояние между двоичными векторами – количеством позиций (разрядов) кодовых комбинаций, в которых они различаются. Следует отметить, что вещественные пространства Rn (при n → ∞), L2(T) и L2(∞) изоморфны(эквивалентны). Это означает, что между их элементами (равно как суммами элементов, их произведениями на скаляры и скалярными произведениями) можно установить взаимно-однозначное соответствие. Изоморфны также соответствующие им комплексные пространства. Понятие изоморфизма имеет большое практическое значение, так как позволяет представить одну модель сигнала другой.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (985)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |