Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке
Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке 1) найти значения функции на концах отрезка, т. е. вычислить 2) с помощью производной 3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Найдем значение функции на концах отрезка: Функция определена и непрерывна на отрезке
Отрезку принадлежит только значение х = 0. Вычислим значение функции в этой точке: Ответ: выбор из полученных значений Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Решение. Вычислим значения функции на концах отрезка: Определим критические точки: Решим полученное тригонометрическое уравнение:
В интервал
В интервал
Найдем значения функции в критических точках:
Ответ: среди полученных значений
Замечание. При решении примера 2 были использованы формулы: Пример 3. Найти значения, которые может принимать сумма квадратов действительных корней уравнения: Решение. Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант больше нуля либо равен нулю. Решим неравенство Корнями уравнения
Для нахождения суммы квадратов корней уравнения Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы, получим С учетом второго уравнения имеем, Установим, в каких пределах заключено выражение Определим критические точки:
Вычислим значения этой функции на границах отрезка и в критической точке:
Таким образом, сумма квадратов действительных корней уравнения Ответ: Замечание. В данном примере можно было заметить, что Тогда очевидно, что наименьшим будет значение в точке При решении текстовых задач на экстремум необходимо «перевести» задачу на язык функций. При этом выбрать неизвестный параметр х и выразить интересующую нас величину как функцию Пример 4. Стороны прямоугольника равны 5 и 10. Через произвольную точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 12. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.
![]() Рис. 6.1. Графическое представление задачи. Решение. Пусть MN прямая, отсекающая прямоугольный треугольник. Обозначим AM = x и AN = y (рис. 6.1). Нам необходимо найти наименьшее значение площади S фигуры MBCDN: По условию задачи периметр треугольника AMN равен 12, т. е. Выразим из данного уравнения y, отделив корень и возведя обе части уравнения в квадрат:
Запишем формулу площади искомой фигуры как функцию от х: где
Вычислим производную данной функции: Производная равна нулю, если
Ответ: Замечание. Поскольку наименьшее значение площади фигуры MBCDN соответствует наибольшему значению площади треугольника AMN, то задачу можно было решать относительно максимума функции
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (943)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |