Главные радиусы кривизны
Через любую точку поверхности Q эллипсоида можно провести множество нормальных сечений. Каждое из них имеет свою кривизну. Среди всего семейства нормальных сечений существуют два таких, для которых одно имеет наибольшую кривизну, а другое – наименьшую. Эти два сечения называют главными нормальными сечениями, а их радиусы кривизны – главными радиусами кривизны. Главные нормальные сечения лежат на взаимно ортогональных плоскостях. На эллипсоиде главными нормальными сечениями являются - меридиан (РР1) и первый вертикал (ТТ1).
При этом первый вертикал и параллель (ТТ1) в точке Q имеют общую касательную, поскольку обе линии перпендикулярны к меридиану.
Приняты обозначения: M – радиус кривизны меридиана и N – радиус кривизны первого вертикала (не отождествлять с радиусом кривизны параллели !). Из всего семейства параллелей только экватор является главным нормальным сечением. Для любой кривой дифференциал ее дуги равен произведению радиуса кривизны и дифференциала угла между касательными к кривой в конечных точках этой элементарной дуги: dX= М dB. Поэтому имеем: М = dX/dB = a(1 – e2) / W3 = с / V3 = р / W3. Очевидно, что на полюсе Мп = с (полярный радиус кривизны), а на экваторе - Мэ = р = b2/ a (с - всегда больше р). Для радиуса кривизны первого вертикала имеет место выражение: N = dy/dL = а / W = c/V = a / (1 – e2sin2B)1/2 Связь значений главных радиусов кривизны:
Используя выражения М = с / V3 и N = c/V, получим: N / M = V2. Во всех точках поверхности эллипсоида, кроме полюсов, N> M. На полюсе (В=900) M=N = c. Используя выражения для M и N, получим (N – M) / M = η2 = (е1)2 cos2B - величина, характеризует отступление поверхности эллипсоида в данной точке от сферической поверхности (на полюсах ). На полюсах η2= 0 , к экватору η2 примерно 1/ 150. Для решения многих задач часто вычисляютсреднее значение радиуса кривизны как:R = √ MN. Лекция 4: Длины дуг координатных линий (меридиана и параллели) Длина дуги меридиана. Из математики известно, что длина ds элементарной дуги произвольной плоской кривой определится как ds =ρα, где ρ –радиус кривизны в начальной точке; α –угол в радианах между нормалями в начальной и конечной точках. Тогда для дуги меридиана Х в общем виде будем иметь: dX = MdBили B2 Х = ∫B1 MdB. Следует заметить, что представленный интеграл относится к классу эллиптических интегралов и в элементарных функциях не выражается (здесь М также зависит от В). Известны несколько способов приближенноговычисления данного вида интеграла, когда ΔВ не превышает 50. В2 C погрешностью не более 0,0001 минтегралdX =∫B1 MdBможно решить после изменения пределов интегрирования: от В0 = 00 до Вi, т.е. от плоскости экватора до точки с широтой Вi, предварительно представив его выражение в виде достаточно простого ряда: Хi = а0Вi –( а2/2) sin2Bi +(a4/4) sin4Bi –(a6/6) sin6Bi + …, где численные значения коэффициентов «аi» зависят от значений большой полуоси и первого эксцентриситета эллипсоида:
а0 = m0 +m2/2 +3/8 m4, где m0 = a (1 – e2), a2 = m2/2 + m4/2 + 15/32 m6,, m2 = 3/2 e2 m0, a4 = m4/8 + 3/16 m6, m4 = 5/4 e2 m2, a6 = m6/32, m6 = 7/6 e2 m4,
где а –значение большой полуоси эллипсоида; е – значение первого эксцентриситета. Так, например, для эллипсоида Красовского коэффициенты принимают значения: а0 = 6 367 558,497 м; а2 = 32 072,960 м; а4 =67,312 м;а6 = 0,132 м. Для определения длины дуги меридиана ∆Х между точками с широтами В1 и В2 используется выражение: ∆Х = Х2 - Х1. Для определения длины дуги с погрешностью 1-2 см применяют формулу Симпсона, основанную на методе численного интегрирования: ∆Х = ∆В / 6 (М1 +4 М СР+ М2 .), где Мi – значение радиусов кривизны меридиана в точках с В1, Вср и В 2.. Значение Мi удобно вычислять по формулам: a(1 – e2) M = c / V3 или М = --------------------. (1 – e2sin2B)3/2 Во многих случаях достаточно знать длину дуги меридиана с погрешностью 1…2 м. С этой целью используется формула вида ∆Х = Мср. ∆В. При разности широт ∆В более 50 (при ∆Х более 500 км) определение длины дуги выполняется в виде суммы двух и более дуг с равенством разностей широт до 50. При малых размерах ∆Х, например при определении рамок съемочной трапеции топографической карты, часто применяют формулу со средними аргументами: ∆Х = Мср. ∆В +( ∆В3/8) [ae2(1 –е2)cos2Bср.]. При (ae2 = 43 км) и масштабе карты 1: 50 000 (∆В = 10ʹ) второе слагаемое правой части составляет примерно 0,0004 м или 0,4 мм. 2. Длина дуги параллели. Параллель эллипсоида представляет собой окружность радиуса r = NcosB, где N – радиус кривизны первого вертикала. Тогда длина дуги такой окружности определяется как ∆Y = NcosB (∆L), где NcosB = r – радиус параллели на широте В. Очевидно, что длина дуги параллели при одном и том же значении ∆L на разных широтах различна и убывает при увеличении широты В. Для вычисления значения радиуса кривизны первого вертикала можно применять формулу вида N = dy/dL = а / W = c/V = a / (1 – e2sin2B)1/2
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3990)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |