Алгоритм метода итерации
· Выбираем начальное приближение . · Вычисляем , и т.д. · Вычисления проводим до тех пор, пока не будет выполнен критерий сходимости итерационного процесса. Например, . Метод итераций хорошо сходится, если элементы малы по абсолютной величине. Иными словами, матрица системы имеет диагональное преобладание. Аппроксимация и интерполирование функций Общие понятия Определение. Аппроксимация - это замена одной функции другой близкой к исходной и обладающей "хорошими" свойствами, позволяющими легко производить над ней те или иные аналитические или вычислительные операции. Простейшая задача интерполирования: на отрезке [a,b] задана (n+1) точка, эти точки называются узлами интерполирования, и (n+1) значение функции в этих точках. Требуется построить функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполирования те же значения, что и f(x), т.е. . Геометрически это означает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через систему заданных точек. Это задача становится однозначной, если вместо произвольной функции строить полином Pn(x) степени n такой, что , тогда внутри промежутков (xi, xi+1) построенный полином будет приближенно описывать функцию f(x). Полученную интерполяционную формулу обычно используют для нахождения приближенного значения функции f(x) в точках, отличных от узлов интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа Пусть на отрезке [a,b] заданы (n+1) точка x0, x1, ¼, xn и значения функции f в этих точках. Будем строить интерполяционный многочлен вида , где - многочлены степени n, удовлетворяющие условиям так как требуем, чтобы значения интерполяционного многочлена и значения функции f(x) совпадали в узлах интерполяции i, т.е. . Тогда можно искать в виде: где - некоторая константа, которую найдем из условия , тогда Если обозначить и продифференцировать это выражение по х, полагая х=хj, то последнее выражение можно записать в виде: , где Таким образом, получим многочлен , который называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Пусть узлы интерполирования являются равноотстоящими, т.е. , если ввести новую переменную , то многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов запишется в виде , т.к. .
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа: если функция f(x) имеет на [a,b] непрерывные производные (n+1)-го порядка, имеет вид , где x - некоторая точка [a,b] или . Это выражение может служить оценкой отклонения полинома Лагранжа от f(x) в том случае, когда можно оценить .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1129)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |