Формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад
Пусть точка интерполирования х находится ближе к левому концу отрезка [a,b] или слева от него. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад примет вид , где - новая переменная, - конечная разность k - го порядка. Связь разностных соотношений и конечных разностей: , , и т.д. Остаток в этом случае имеет вид . Формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед Пусть точка интерполирования х находится ближе к правому концу отрезка [a,b] или справа от него. За первый узел интерполирования примем ближайший и обозначим его через хk. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед примет вид , где - новая переменная. Связь разностных соотношений и конечных разностей: , , и т.д. Остаток в этом случае имеет вид . Правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно: если , а , то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен j. Использование разности порядка (j+1) приведет к искажению результата. Здесь e - абсолютная погрешность вычисленных значений уi. Интерполяционные формулы Гаусса. Пусть узлы интерполирования х0, х1, ..., хn равноотстоящие и точка интерполирования х находится в середине отрезка [a,b] "вблизи" узла хk, причем х>xk. Для построения интерполяционной формулы необходимо привлекать узлы интерполирования в следующем порядке: хk, xk+h, xk-h, ..., xk+ih, xk-ih. Обозначив и вводя конечные разности по формулам: , , и т.д., то для интерполирования вперед формула Гаусса примет вид Если точка интерполирования х<хk, то узлы для построения следует привлекать в следующем порядке: хk, xk-h, xk+h, ..., xk-ih, xk+ih. Формула Гаусса для интерполирования назад имеет вид
Построение кривой по точкам Общие понятия В инженерной практике часто используют совокупности точек, абсциссы которых различны, полученные в результате экспериментов. Назначение численных методов заключается в определении зависимости, которая связывает данный набор точек. Другими словами в этом случае численные методы определяют класс допустимых формул, коэффициенты которых должны быть определены. Существует множество различных типов функций, которыми можно воспользоваться. Рассмотрим класс линейных функций вида: . Все рассмотренные до этого методы позволяли получить полиномы, достаточно хорошо аппроксимирующие или интерполирующие данные при условии, что эти данные достаточно точны, т.е. точки получены, по крайней мере, с пятью знаками точности. Однако, часто в измерениях экспериментальная ошибка достаточно велика, т.е. истинное значение удовлетворяет равенству: , где - ошибка измерения. Для того, чтобы определить насколько далеко от данных лежит кривая можно воспользоваться следующими нормами: - максимальная ошибка, (4.1) - средняя ошибка, (4.2) - среднеквадратичная ошибка. (4.3) Пример:Сравним ошибки для линейного приближения функции по заданной таблице точек
Решение: Вычислим все три вида ошибок: . . . Таким образом, построенная наилучшим образом линия определяется минимизацией одной из величин, заданных выражениями (4.1) – (4.2). В связи с тем, что третью норму легче минимизировать выбирают её.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1660)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |