Некоторые необходимые обозначения и определения
Федеральное государственное образовательное бюджетное Учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ Им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» ___________
П.З. Мкртычян. МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ СОМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СПбГУТ ))) САНКТ-ПЕТЕРБУРГ УДК ББК
Рецензент заведующий кафедрой Высшей математики ПГУПС кандидат физ.-мат. наук, проф. Гарбарук В.В.
Утверждено редакционно-издательским советом СПбГУТ в качестве методических указаний
ББК
© Мкртычян П.З. 2014 © Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч‑Бруевича».
-2- Содержание 1.Некоторые необходимые обозначения и определения………………………………4 2.Определения пределов…………………………………………………………………………………6 3.Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов……………….12 4.Непрерывные функции…………………………………………………………………………………14 5.Замечательные пределы……………………………………………………………………………….15 6.Сравнение бесконечно малых. Принцип эквивалентности…………………………17 7.Вычисление пределов…………………………………………………………………………………..19 8.Вычисление пределов по правилу Лопиталя……………………………………………….26 9.Варианты контрольных заданий…………………………………………………………………..29 10.Литература……………………………………………………………………………………………………41 -3- Некоторые необходимые обозначения и определения. Понятие предела является одним из основных понятий математического анализа. Прежде, чем дать определение предела, приведём некоторые необходимые обозначения и определения. Множество всех вещественных чисел будем обозначать через R. Следующие значки означают: не принадлежит, содержится, любой, существует, следует, тогда и только тогда. Заглавными буквами A,Bи т.д. будем обозначать множества вещественных чисел ( т.е. A , B ), а малыми буквами a, b и т.д. их элементы (a ). Определение 1.1. -окрестностью точки R называется множество т.е. множество, состоящее из всех тех чисел , которые удовлетворяют неравенству . Нетрудно понять, что . Определение 1.2. -окрестностью «плюс бесконечности» (+ называется множество =( Определение 1.3. -окрестностью «минус бесконечности» ( называется множество =( Определение 1.4. -окрестностью « бесконечности» ( называется множество =( ( Заметим, что предполагается только в определении 1.1. Если в Определение 1.5.Точка называется внутренней точкой множества A , если она принадлежит множеству A вместе с некоторой своей -окрестностью. Определение 1.6. Множество A называется открытым, если все его точки внутренние. Пример 1.1.Всякий открытый интервал (a,b) является открытым множеством. -4- Определение 1.7.Окрестностью точки называется всякий открытый интервал (a,b), содержащий точку Заметим, что -окрестность точки является также её окрестностью. Определение 1.8.Точка называется граничной точкой множества A , если всякая её окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству A, так и не принадлежащие ему. Заметим, что граничная точка может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Пример 1.2. Граничными точками множества A= являются точки a и b, но точка a принадлежит множеству A, а b не принадлежит ему. Определение 1.9.Объединение множества А с множеством его граничных точек называется замыканием множества А и обозначается . Определение 1.10. ЕслиА= , то множество А называется замкнутым. Пример 1.3. , , . Определение 1.11. Точка называется предельной точкой множества А, если любая её окрестность содержит точку множества А, отличную от точки . Заметим, что предельная точка множества может принадлежать этому множеству, а может и не принадлежать ему; точка, принадлежащая множеству, может не быть его предельной точкой. Определение 1.12.Точка называется изолированной точкой множества А, если она принадлежит множеству А и не является его предельной точкой. Пример 1.4.Пусть А=(0,1) . Предельными точками множества А являются только и только все точки интервала [0,1]; точка x=2 является изолированной точкой множества А. Пример 1.4.Все точки множества натуральных чисел N={1,2,3,…} являются изолированными. У множества N есть только одна предельная точка + -5- Определения пределов. Пусть задана числовая функция с областью определения А и - предельная точка множества А. В этом параграфе будут приведены определения предела функции при , стремящемся к . На интуитивном уровне должно быть понятно, что это означает, что при приближении к значение функции становится сколь угодно близким к Например, нетрудно догадаться, что при , стремящемся к 3 пределом функции должно быть число 9= . Определение 2.1. Пусть - предельная точка области определения А функции (всюду ниже будем это предполагать, не оговаривая особо). Тогда называется пределом функции при , стремящемся к , (это обозначается так: ), если для (любой) -окрестности (существует) такая -окрестность точки что из того, что , следует, что) . Замечание 2.1.Если в приведённом определении - и -окрестности заменить на окрестности точек и соответственно, то получится определение, эквивалентное приведённому. Замечание 2.2.В приведённом определении каждая из величин и может быть как конечной, так и равной + т.е. оно содержит шестнадцать определений предела. Приведённое определение называется определением предела на языке окрестностей. Учитывая то, какими неравенствами описываются - и -окрестности конечных точек и бесконечностей, приведём теперь все шестнадцать определений пределов на так называемом языке , эквивалентные определению 2.1. Некоторые из них проиллюстрируем рисунками. Всюду ниже величины и предполагаются конечными. Определение 2.2.Говорят, что , если для такое, что из того, что . -6- Запись « » означает, что зависит от . Всюду ниже мы для краткости будем писать просто Рис.1 Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством Пример 2.1. . Для произвольного достаточно малого решением неравенства будет интервал, описываемый неравенством , или откуда видно, что если положить , то из того, что . Определение 2.3.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Рис.2 -7- Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством Пример 2.2. Действительно, для неравенство выполнено, как только , если ; если же , то при любом Определение 2.4.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Иллюстрацией определения 2.4 является зеркальное отражение рисунка 2 относительно оси OX. Пример 2.3.Очевидно, что Определение 2.5.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Рис.3 Заштрихованное множество на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством Заметим, что если ,то R. -8- Определение 2.6.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Рис.4 На осях OY и OX заштрихованы соответственно интервалы и ( . Это соответственно окрестности и , которые описываются неравенствами и . Пример 2.4. Действительно, для неравенство , как только . Определение 2.7.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Рис.5 Заштрихованные на осях OX и OY множества – это и ( = . Определение 2.8.Говорят, что , если для такое, -9-
что из того, что Иллюстрацией определения 2.8 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОХ. Пример 2.5. . Действительно, для из того, что = , Определение 2.9.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Пример 2.6.Пусть , если рациональное, и , если рациональное. Очевидно, что , так как для из того, что = . Определение 2.10.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Иллюстрацией определения 2.10 является зеркальное отражение рисунка 4 относительно оси ОY. Пример 2.7. Определение 2.11.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Иллюстрацией определения 2.11 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОY. Определение 2.12.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Иллюстрацией определения 2.12 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно осей ОY и ОХ. Пример 2.8. . Определение 2.13.Говорят, что , если для такое, что из того, что . -10- Пример 2.9.Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: . Определение 2.14.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Нетрудно понять, что . Пример 2.10. (см. примеры 2.4 и 2.7). Определение 2.15.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Определение 2.16.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Опять же,
Пример 2.11. . Определение 2.17.Говорят, что , если для такое, что из того, что . Очевидно, что Пример 2.12.Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: . Приведём теперь определения односторонних пределов. Определение 2.18. называется левосторонним (правосторонним) пределом функции при , стремящемся к слева (справа), если для такое, что из того, что . Левосторонний и правосторонний пределы обозначаются соответственно и . Определение 2.19.Говорят, что ( , если для такое, что из того, что -11- . Определение 2.20.Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что . Определение 2.21.Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что Пример 2.13.Нетрудно понять, что , . Справедлива следующая Теорема 2.1 (о единственности предела).Если и , то . Нетрудно убедиться, что справедлива следующая Теорема 2.2. .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (292)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |