Сравнение бесконечно малых. Принцип эквивалентности
Определение 6.1.Бесконечно малые Определение 6.2.Бесконечно малые Определение 6.3.Бесконечно малая -17- Теорема 6.1.Если
Теорема 6.2.Если Теорема 6.3 (принцип эквивалентности).Если Т.е., если под знаком предела бесконечно малая входит как сомножитель, то ее можно заменить на эквивалентную. Замечание 6.1.Особо заметим, что этого нельзя делать в разностях и суммах. Из первого, третьего, четвёртого и пятого замечательных пределов и их следствий вытекает следующая таблица эквивалентности для бесконечно малых:
tg
-18- Докажем (6.10). Для этого посчитаем предел Вычисление пределов. В этом разделе рассмотрим ряд типовых задач на вычисление пределов. Пример 7.1. Предел 7.1 представляет из себя неопределённость вида Для вычисления подобных пределов нужно числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень, а затем воспользоваться теоремами 3.7, 3.3 и 3.4. Имеем:
Пример 7.2. Пример 7.3. Здесь используется, что величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой (теорема 3.3). Заметим, что пределы 7.2 и 7.3 можно было бы посчитать и несколько иначе:
Проанализировав решения примеров7.1 – 7.3, нетрудно понять, что справедлива следующая Теорема 7.1.Пусть
Рассмотрим теперь пределы отношений многочленов при Пример 7.4. В силу теорем 4.1 и 4.2 рассматриваемая функция является непрерывной. Это означает, что Пример 7.5. Положив Пример 7.6. Положив Пример 7.7. Положив -20- числителя и знаменателя, разложив последние на множители, получим: Пример 7.8. Положив
Пример 7.9. Положив
Пример 7.10. Для раскрытия неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на
-21- Пример 7.11. Разложив знаменатель на множители и умножив числитель и знаменатель на
Пример 7.12. Для раскрытия неопределённости
Разделив числитель и знаменатель на Пример 7.13. Заметим, что этот предел не имеет ничего общего с первым замечательным пределом (5.1). Поскольку Перейдём теперь к пределам, при вычислении которых используются замечательные пределы или, что то же самое, таблица эквивалентности. Пример 7.14. -22- Сначала особо заметим, что если в разности, стоящей в числителе предела
7.14, Для получения правильного ответа нужно положить
Пример 7.15. Поделив числитель и знаменатель дроби на
Заметим, что если в пределе 7.15 Пример 7.16. Для раскрытия неопределённости нужно разность в числителе преобразовать в произведение. Кроме того, поскольку в замечательных пределах (кроме второго в одном из видов) Пример 7.17. Поскольку Воспользовавшись непрерывностью экспоненты (см. определение 4.1 и теорему 4.1) и тем, что если
С помощью выкладок, используемых при вычислении предела 7.17, может быть доказана Теорема 7.2.Пусть Действительно, так как Все неопределённости вида Пример 7.18. Так как
-24-
Поскольку
Пример 7.20.
Поскольку
Пример 7.21. Поскольку Пример 7.22. Поскольку
Заметим, что писать сначала некорректно, так как не сформулированы соответствующие теоремы, на которые можно было бы сослаться. По той же причине недопустимо писать сначала -25-
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (446)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |