Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Этот раздел посвящен одному удобному способу раскрытия неопределённостей вида Но сначала следует кратко изложить некоторые необходимые сведения о дифференцируемых функциях. Определение 8.1.Производной функции если этот предел существует и конечен. Тогда функция Геометрический смысл производной.Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции и характеризует скорость изменения функции. Теорема 8.1.Если функциядифференцируема, то она непрерывна. Замечание 8.1.Из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. График дифференцируемой функции является гладкой кривой. Теорема 8.2.Справедливы следующие правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения: Поскольку из определения производной следует, что производная константы равна нулю, то из правила дифференцирования произведения вытекает Следствие 8.1. Справедливо следующее правило дифференцирования сложной функции. Теорема 8.2.Пусть Нижний индекс указывает переменную дифференцирования. -26- Приведём таблицу производных основных элементарных функций. 1)
Теорема 8.3 (Лопиталь).Пусть предел Замечание 8.2.Величины Замечание 8.3.Если предел Замечание 8.4.В теореме 8.3 утверждается, что из существования предела
Пример 8.1.
-27- Замечание 8.5.Поскольку правило Лопиталя применимо только к неопределённостям вида Пример 8.2. Заметим, что предел Заметим, что часто, прежде чем применять правило Лопиталя, бывает целесообразно бесконечно малую заменить на эквивалентную. Пример 8.3. При дифференцировании знаменателя получится громоздкое выражение, тем более, при повторном дифференцировании. Но в силу (6.1), (6.4) и (6.5)
Пример 8.4. Нетрудно понять, что, применяя Пример 8.5. Аналогичным образом можно доказать, что малой положительной степени. Пример 8.6. Поскольку правило Лопиталя применимо только к неопределённостям вида Аналогичным образом можно доказать, что Пример 8.7. В силу логарифмического тождества Пример 8.8. Поступив так же, как в примере 8.7, в силу примера 8.6 получим:
Варианты контрольных заданий. Вариант 1 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 2 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 3 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 4 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. -30- 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 5 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
Вариант 6 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 7 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
Вариант 8 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 9 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. -32- 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 10 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
Вариант 11 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. -33- Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 12 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 13 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 14 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: -34- 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 15 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 16 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. -35- 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 17 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 18 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 19 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 20 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. -37- Вариант 21 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 22 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 23 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: -38- 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 11. Вариант 24 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. Вариант 25 Расписать на языке Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: 1. 4. 7. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
-40- Литература 1.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, часть 1 изд. «Лань» 2008 год. 2. Берман Г.Н. Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа. Изд. «Лань». 20011 год -41-
-40-
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (714)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |