Уравнение плоскости в нормальной форме
Если точка А(x,y,z) принадлежит плоскости ax+by+cz+d=0, (*) то её координаты удовлетворяют уравнению (*). Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение ax+by+cz+d, если точка А не принадлежит плоскости. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость. Пусть А0(x0,y0,z0) – основание перпендикуляра. Так как точка А0 лежит на плоскости, то ax0+by0+cz0+d=0. Отсюда ax+by+cz+d=a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)= n = , где n– вектор, перпендикулярный плоскости с координатами a,b,c, а -- расстояние точки А от плоскости. Таким образом, ax+by+cz+d положительно по одну сторону плоскости, отрицательно по другую, а по абсолютной величине пропорционально расстоянию точки А от плоскости. Коэффициент пропорциональности: Если уравнение плоскости a2+b2+c2=1,то ax+by+cz+d будет равно с точностью до знака расстоянию от плоскости. В этом случае говорят, что плоскость задана уравнением в нормальной форме. Очевидно, чтоб получить нормальную форму уравнения плоскости (*), достаточно разделить его на .
Особенности расположения плоскости в системе координат, взаимное расположение плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Пусть две плоскости π1 и π2 заданы общими уравнениями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Очевидно, вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла φ между их нормальными векторами n1 = {А1, В1, С1}и n2= {А2, В2, С2} Замечание:Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных π. Нам достаточно определить один из этих углов. Из определения скалярного произведения n1n2 =|n1 | |n2 | cos φ и из выражения в координатах длин векторов n1 и n2 и их скалярного произведения, получим cos φ = (1) Итак, угол φ между плоскостями π1 и π2, определяется с помощью формулы (1). Условие параллельности плоскостей π1 и π2, эквивалентное условию коллинеарности векторов n1 и n2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид = = . (2) Условие перпендикулярности плоскостей π1 и π2 может быть извлечено из формулы (1) (при cos φ = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов n1 и n2. Оно имеет вид А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0
Различные виды уравнения прямой в пространстве ( общее уравнение прямой, каноническая форма). Общее уравнение прямой в пространстве. Любую прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей, следовательно, прямая может быть задана системой уравнений: И обратно: любая система двух линейных уравнений будет уравнением некоторой прямой пространства(система должна быть совместной). Каноническая форма: = = На самом деле, это система двух линейных уравнений, значит, такое уравнение действительно задает прямую
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (489)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |