Касательная к коническому сечению
Определение: касательная к кривой в точке А называется предельно положение секущей АВ, когда точка В неограниченно приближается к точке А. Запишем уравнение секущей, используя форму уравнения прямой, проходящей через точку А (хо;уо) с заданным угловым коэффициентом (k секущая= у/x) АВ: у-уо= у/x (x-xo); если х 0, то у/x f,(х). Тогда уравнение касательной имеет вид y-yo=f,(xo)(x-xo) Если х=F(y) x-xo=F,(yo)(y-yo) Пункт 1.Парабола.
У2=2px X=y2/2px Xy’=y X’(y0)=y0/p тогда уравнение касательно имеет вид x-x0=y0/p(y-y0) px-px0=y0y-y02(1) y02=2px: px+px0=y0y y0y=p(x+x0) уравнение касательной к параболе Пункт 2.Эллипс. x2/a2=y2/b2=1 составим уравнение касательной к эллипсу в точке (x-xo) при условии , что y0 не равно 0 Выразим из уравнения y: Y=bÖ1-x2/a2 Y’=b1/Ö1-x2/a2* (-2x/a2) Y’(x0)= -bx0/a2Ö1-x2/a2= bx20/a2bÖ1-x2/a2*(-2x/a2) Y - y0=-b2x0/ a2y0(x-x0) xx0/a2 + yy0/b2=1 Вывод: таким образом, уравнение касательной получено для любой точки, принадлежащей эллипсу, т.к. если точка принадлежит эллипсу, то её координаты (x0,y0) – одновременно в ноль не обращаются. Замечание: уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет вид: xx0/a2 - yy0/b2=1.
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ. где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду ax2 + by2 + c = 0 или px2 + qy = 0. Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2 № AC, второе – при B2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов. 1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b). 2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс ; при a = b – окружность. 3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола . 4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых. 5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности. 6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых. 7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых. 8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.) 9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени. Вывод уравнений конических сечений. Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x, y, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z2 = x2 + y2. Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса с прямым углом при вершине V. Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC, где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB. Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P. Получившаяся кривая будет параболой. Построение можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ y2 = RQXQS. Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS/EB = QF/FE). Отсюда следует, что где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы. Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y2 = RQЧQS эквивалентно уравнению вида где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x(x = a и x = –a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид: или, после переноса осей, В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x2 =a2, определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y2 = –b2, определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду xy = k.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (718)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |