Формулировка теоремы существования и единственности
В §1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях теорема существования и единственности является основным теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению данной системы дифференциальных уравнений. Теорема существовании и единственности формулируется и доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Системы дифференциальных уравнений того частного тина, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными. Система
обыкновенных дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе t —независимое переменное,
непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет предполагаться, что и их частные производные
существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным Решением системы уравнений (1) называется система непрерывных функций
определенных на некотором интервале
должна принадлежать, множеству Г для всех значений t на интервале Дадим теперь формулировку теоремы существовании и единственности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в § 13.) Теорема 2. Пусть (1) — нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функции (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки
множества Г существует решение
системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку
Далее, оказывается, что если имеются два каких-либо решения
системы (1), удовлетворяющих условиям
причем каждое решение определено на своем собственном интервале значений переменного t, содержащем точку Значения (5) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7). Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так: Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем точку Введем здесь понятие непродолжаемого решения. А) Пусть
- решение системы уравнений (1), определенное на интервале
- решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале Сформулируем теперь еще одну теорему существования. Теорема 3. Пусть
- нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты
существует решение системы (12) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале В частности, если коэффициенты и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е. если Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых (n+1)-мерном пространстве с координатами
где (14) есть решение системы. Сама система (1) интерпретируется с помощью поля направлений в (n+1)-мерном пространстве. Примеры 1. Решим нормальную линейную систему уравнений
Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами
где
Пусть
Тогда уравнения (17) переписываются в виде:
Полагая
мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку В силу теоремы 2 (единственность) формула (16) охватывает совокупность всех решений. 2. Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (1) k раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка k (включая смешанные) по всем переменным В самом деле, для решения (4) имеет место тождество:
Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (203)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |