Доказательство теоремы 2
Так как точка принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа q и a, что все точки , удовлетворяющие условиям , (14)
лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.18), то. непрерывные функции
и ,
ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что
, (15)
на множестве П. Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество определяемое неравенствами
,
где
(16)
(рис. 18). Обозначим через семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству когда
Рис. 18.
для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство
(17)
Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция принадлежит семейству , то функция (см. (10), (11)) также принадлежит семейству . б) Существует такое число , что для любых двух функций семейства , имеет место неравенство
(18)
Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция принадлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство: .
В силу (10), (5) и (15) мы имеем:
.
Из этого видно, что при
(19)
условие а) выполнено. Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:
. (20)
Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15):
. (21)
Из (20) и (21) следует
Таким образом, условие б) выполнено, если , (22)
где . Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства выполнены условия а) и б). Построим теперь последовательность векторных функций
, (23)
определенных на отрезке , положив
(24)
Так как функция принадлежит семейству , то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)):
В силу (18) получаем:
,
отсюда
. (25) Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции , принадлежащей семейству . Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (12). Для этого заметим, что последовательность
Равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем (см. (18))
.
Переходя в соотношении (24) к приделу при , получаем:
.
Итак, существование решении уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (8), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число; удовлетворяющее неравенствам (16), (19), (22). Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть и - два решения уравнения (3) с общими начальными значениями и — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки и потому мы сохраним за точкой обозначение ; это позволит нам сохранить и другие прежние, обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:
. (26)
Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с центром в точке (см, неравенства (14)), содержащееся в Г, а затем множество таким образом, чтобы число r, кроме неравенств (16), (19), (22), удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам:
, .
Это возможно, так как функции и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на, отрезке , входят в семейство и, следовательно, в силу неравенства (18) и соотношений (26), получаем:
,
а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функций и совпадают на отрезке . Докажем теперь, что функции и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что . Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть — последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,
,
т.е. точка также принадлежит множеству N. Обозначим через точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию. Итак, теорема 2 доказана.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (198)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |