Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной
В предыдущем параграфе была сформулирована теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений. Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде:
Здесь t — независимое переменное, х — его неизвестная функция, а F - заданная функция n+2 переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности n+2, в котором координатами точки являются переменные Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть написаны в виде:
Здесь t - независимое переменное, х и у — две его неизвестные функции, F и G - две функции, каждая от Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного независимого переменного. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнении являются функции Если соотношение (1) может быть разрешено относительно
Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно величин
Уравнение (3) и система (4) называются разрешенными относительно высших производных. Аналогично определяются разрешенные относительно высших производных системы с произвольным числом неизвестных функций. В частности, нормальная система (1) § 2 является разрешенной относительно высших производных. Покажем теперь, что всякая имеющая порядок n система дифференциальных уравнений, разрешенная относительно высших производных. сводится к нормальной системе порядка n. Для начала покажем, как одно уравнение порядка n сводится к нормальной системе порядка n. А) Пусть
- одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно высшей производной. Здесь t — независимое переменное, у — неизвестная функция переменного t. Далее,
(где предполагается, что
Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе
Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки
или, как говорят, решение с начальными значениями
Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (5) линейно, т. е. функция f линейна относительно переменных Докажем, что уравнение (5) эквивалентно системе (7). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению (5), и докажем, что функции
Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений (6), а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7). Допустим, что, наоборот, функции Так как функция f определена на множестве Г, то правые части системы (7) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия теоремы 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать начальные значения
для уравнения (5). Если уравнение (5) линейно, то система (7) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предложения А). Таким образом, предложение А) доказано. Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |