Удар в неголономной системе.
Если на диске установлен обычный двусторонний конек, и наложена односторонняя связь . То такими же простыми рассуждениями получаем, что при однократном ударе скорость центра диска меняется на противоположную.
Удар о неголономную связь.
Заметим, что движение будет иметь безударный характер и в общем случае, когда на систему наложены только неголономные односторонние связи причем все компоненты вектора неотрицательны: . Рассмотрим натуральную механическую систему Уравнения Лагранжа 2-го рода дают Мера неотрицательна и сосредоточена в тех точках траектории, где слева или справа. Допустим, что в момент траектория вышла на ограничение и мера имеет скачок . Тогда все его компоненты неотрицательны: и . Считаем, что при ударе полная энергия может рассеиваться. В точках скачка координаты и, значит, потенциальная энергия остаются непрерывными. Следовательно, в них может рассеиваться только кинетическая энергия: Подставив сюда условие скачка , получим Воспользовавшись условием выхода на границу связи получаем
Поскольку все компоненты векторов и неотрицательны, то неотрицательно и первое слагаемое в неравенстве. Значит второе слагаемое неположительно. Однако, , как и – положительно определенная матрица, поэтому второе слагаемое обращается в ноль, т.е. и . Это означает, что скачки скорости отсутствуют, скорость является абсолютно непрерывной функцией.
Малые колебания.
Рассмотрим малые колебания в системе с одной степенью свободы. Пусть лагранжиан имеет вид и на систему наложено одно ограничение . Обычной калибровкой приведем лагранжиан к виду Если удары абсолютно упругие, то в системе сохраняется энергия: .Уравнения движения с мерами выглядят следующим образом. (9.1) Причем мера неотрицательна и сосредоточена в тех точка, где . Условия, при которых точка является положением равновесия, получаются подстановкой в уравнения движения значений . Они выглядят так: Поскольку мера неотрицательна, то условием равновесия является . Если оно выполнено, то, взяв , мы удовлетворим уравнения движения для траектории . В соответствии с [4, 15], положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия имеет минимум в точке , при ограничениях . Достаточным условием этого является выполнение неравенства . Таким образом, если , то точка является устойчивым положением равновесия системы (9.1) при ограничении . Заметим, что другим достаточным условием устойчивости является система , В этом случае точка является устойчивым положением равновесия системы без односторонних ограничений. Здесь мы не будем рассматривать этот случай. Найдем частоту малых колебаний в окрестности положения равновесия. Удар считаем абсолютно упругим. Линеаризовав лагранжиан, получим Линеаризованные уравнения движения приобретет вид В линеаризованной системе также сохраняется энергия: , Движение в окрестности точки представляет собой повторяющиеся одинаковые безударные параболические участки, разделенные ударом о связь . Будем считать, что очередной удар произошел в момент . Найдем момент следующего удара. После удара координата увеличивается до того момента, когда скорость от значения упадет до нуля. Длина этого отрезка времени составляет Длина полного безударного участка составляет , и частота малых колебаний. Таким образом период малых колебаний системы падает вместе с энергией системы как ее квадратный корень. (9.2)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (156)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |