Исследование функции с помощью производной
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области «Сергинский многопрофильный техникум»
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе
для студентов заочного отделения специальность: 230401 Информационные системы (по отраслям)
Верхние Серги
Часть 2 Основы математического анализа. Методы дифференциального и интегрального исчисления. Дифференциальные уравнения. Методические указания и индивидуальные задания
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Основы математического анализа
Понятие функции Функция Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве X задана однозначная функция . Графиком функции называется множество точек . Функция называется четной на множестве D, если выполняется равенство , . График четной функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной на множестве D, если выполняется равенство , . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве D, если для любых , , выполняется неравенство ( ). Функция называется ограниченной на множестве D, если такое число , что выполняется . Функция называется периодической на множестве D, если такое число , что выполняется . Наименьшее из этих чисел Т принято называть периодом функции . Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений Е. если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции и записывается . Функции и называются взаимообратными. Любая строго монотонная функция имеет обратную. Пусть функция определена на множестве D, а функция на множестве D1, причем соответствующее значение . Тогда на множестве D1 определена функция , которая называется сложной функцией от x (суперпозицией заданных функций). Например, функция является суперпозицией двух функций и .
6.2. Преобразования графиков функций. 1. График функции можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. 1) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вверх, если , и вниз, если ). 2) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вправо, если , и влево, если ). 3) График функции получается из графика функции растяжением вдоль оси в раз. 4) График функции получается из графика функции сжатием по оси в раз. 5) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси . 6) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .
Исследование функции с помощью производной Определение:Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . Определение:Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
6.4. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной 1. Найти производную функции . 2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв. 3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает. 4. Если в окрестности критической точки меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума. 5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции. Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: .
Решение: Найдем первую производную функции . Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
Ответ: Функция возрастает при ; функция убывает при ; точка минимума функции ; точка максимума функции .
6.5. Правило нахождения экстремумов функции
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1479)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |