Замечательные пределы
Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:
Пример 1. Вычислить пределы функции Решение.В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента. а) Здесь применима теорема о пределе частного.
б)
При подстановке Неопределенность вида
Таким образом, в) Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю. г) Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
д)
Пределы числителя и знаменателя дроби равны
Чтобы раскрыть неопределенность вида
так как (по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).
Замечание. Полезно запомнить, что при В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен Ответы. Пример 2.Найти предел Решение. Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
8. Дифференцирование функций одной переменной
8.1. Основные определения
8.1.1.Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум). 8.1.2.Дифференцирование– операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов. 8.1.3.Дифференцируемая функция– функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных. 8.1.4.Производная– основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции 8.1.5. Производной функции Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную. 8.2. Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. 8.3. Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции Уравнение нормали к графику функции
Таблица производных
Рассмотрим примеры. Найти производные функций: Пример 1: Решение:
Пример 2: Решение: Пример 3: Решение:
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (470)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |