Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение: Уравнение вида
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Алгоритм решения: 1) Вводится подстановка 2) Исходное уравнение принимает вид:
3) Группируются слагаемые при u.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим 5) Полученное значение v подставляется в выражение:
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию 6) Общее решение уравнения запишется в виде:
Пример 1 Найти общее решение уравнения
Решение: Обозначим Уравнение примет вид Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0 Перепишем в виде Умножая обе части уравнения на интегрируем находим получим откуда Пропотенцируем обе части равенства v = Найденную функцию du = sinx∙cos∙xdx или Интегрируем Получим Зная функции u и v , можно записать ответ. Ответ: Общее решение уравнения у =
Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение: Пусть Отсюда, Вынесем u за скобки: Приравняв скобку к 0 , получим: Отсюда, Интегрируем
Подставив
Проинтегрируем Запишем общее решение уравнения: Частное решение найдем из условия
Частное решение заданного уравнения имеет вид: Ответ:
Уравнение Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида Предполагая, что В результате получим: Введем новую функцию Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере. Пример. Найти общее решение уравнения: Решение. Уравнение (2) является уравнением Бернулли, причем Будем искать решение уравнения в виде Тогда В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы
которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 7. Найти указанные пределы .
1. а) в) 2. a) в) 3. a) в) 4. a) в) 5. a) в) 6. a) в) 7. a) в) 8. a) в) 9. a) в) 10. a) в) 11. a) в) 12. a) в) 13. a) в) 14. a) в) 15. a) в) 16. a) в) 17. a) в) 18. a) в) 19. a) в) 20. a) в) Задание № 8. Найти производные функций:
1. а) в) 2. a) в) 3. a) в) 4. a) в) 5. a) в) 6. a) в) 7. a) в) 8. a) в) 9. a) в) 10. a) в) 11. a) в) 12. a) в) 13. a) в) 14. a) в) 15. a) в) 16. a) в) 17. a) в) 18. a) в) 19. a) в) 20. a) в)
Задание № 9.Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
1. 4. 7. 10. 13. 16. 19.
Задание № 10. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием. 1. a) в) 2. a) в) 3. a) в) 4. a) в) 5. a) в) 6. a) в) 7. a) в) 8. a) в) 9. a) в) 10. a) в) 11. a) в) 12. a) в) 13. a) в) 14. a) в) 15. a) в) 16 a) в) 17. a) в) 18. a) в) 19. a) в) 10. a) в)
Задание № 11.Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
Литература
1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г. 2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. 3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» : Мир и Образование, 2003. 4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965. 5. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М. : физ.-мат. лит., 2001. 6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989. 7. Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высш.шк; 1991г. 8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003. 9. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. 10. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971. 11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания]. 12. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по математике.- М. 1999. 13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002. 14. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996. 15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.-П.: изд-во «Лань», 1999. 16. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. 1977. 17. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (912)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |